Matriks Dan Operasi Dasar

definisi matrix

matriks adalah susunan bilangan, simbol, atau ekspresi yang disusun dalam baris dan kolom sehingga membentuk suatu bangun persegi.

Source: wikipedia

Bentuk Matriks

matriks bentukanya gini:

$$\begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 \\ 5 & 6 & 7 & 8 \\ 9 & 10 & 11 & 12 \end{bmatrix}$$

matriks diatas mempunyai ordo 3x4. ordo adalah cara menyebut ukuran dari matriks. jadi kalau ada matriks ber-ordo 3x4 maka matriks tersebut punya 3 baris dan 4 kolom.

	Kolom 1	Kolom 2	Kolom 3	Kolom 4
Baris 1	1	2	3	4
Baris 2	5	6	7	8
Baris 3	9	10	11	12

• Baris: mendatar dari kiri ke kanan (Baris 1, Baris 2, Baris 3)
• Kolom: tegak dari atas ke bawah (Kolom 1, Kolom 2, Kolom 3, Kolom 4)

Catatan kedepan

pada rumus rumus kedepan baris akan dilambangkan $_{i}$ dan kolom dilambangkan $_{j}$

$$A_{ij} = A_{23} = \begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \end{bmatrix}$$

Operasi Aljabar Matriks

Penjumplahan dan pengurangan

syarat

ordo kedua matriks harus sama

Penjumlahan/pengurangan matriks dilakukan dengan cara menjumlahkan atau mengurangkan elemen-elemen yang menempati posisi yang sama pada kedua matriks. contoh:

$$A = \begin{bmatrix} 1 & 4 \\ 2 & 5 \\ 3 & 6 \end{bmatrix} \quad B = \begin{bmatrix} 7 & 9 \\ 8 & 10 \\ 9 & 11 \end{bmatrix}$$

Maka:

$$A + B = \begin{bmatrix} 1 & 4 \\ 2 & 5 \\ 3 & 6 \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} 7 & 9 \\ 8 & 10 \\ 9 & 11 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 + 7 & 4+9 \\ 2+8 & 5+10 \\ 3+9 & 6+11 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 8 & 13\\ 10 & 15 \\ 12 & 17 \end{bmatrix}$$

Perkalian dengan skalar ($\lambda$)

Perkalian matriks dengan skalar berarti mengalikan setiap elemen matriks dengan suatu bilangan real ($\lambda$). Artinya, setiap elemen pada matriks dikali dengan skalar tersebut.

Misal:

$$A = \begin{bmatrix} 2 & -3 \\ 4 & 0 \end{bmatrix}$$

Jika $\lambda = 5$, maka:

$$\lambda \cdot A = 5 \cdot \begin{bmatrix} 2 & -3 \\ 4 & 0 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 5 \times 2 & 5 \times (-3) \\ 5 \times 4 & 5 \times 0 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 10 & -15 \\ 20 & 0 \end{bmatrix}$$

Perkalian Matriks dengan matiks

syarat

jumlah kolom matriks pertama harus sama dengan matriks kedua

Langkah-langkah cara mengalikan matriks (misal $A$ berukuran $2\times3$ dan $B$ berukuran $3\times2$):

Misalkan:

$$A = \begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13}\\ a_{21} & a_{22} & a_{23} \end{bmatrix},\quad B = \begin{bmatrix} b_{11} & b_{12}\\ b_{21} & b_{22}\\ b_{31} & b_{32} \end{bmatrix}$$

Langkah perkalian:

• Setiap elemen pada hasil ($C = AB$) didapat dengan cara: baris dari $A$ dikali kolom dari $B$, lalu dijumlahkan.

Maka:

$$C = A \times B = \begin{bmatrix} c_{11} & c_{12} \\ c_{21} & c_{22} \end{bmatrix}$$ $$C = AB = \begin{bmatrix} a_{11}b_{11} + a_{12}b_{21} + a_{13}b_{31} & a_{11}b_{12} + a_{12}b_{22} + a_{13}b_{32} \\ a_{21}b_{11} + a_{22}b_{21} + a_{23}b_{31} & a_{21}b_{12} + a_{22}b_{22} + a_{23}b_{32} \end{bmatrix}$$

Contoh dengan angka

Misal $A$ dan $B$:

$$A = \begin{bmatrix} 1 & 2 & 3\\ 4 & 5 & 6 \end{bmatrix},\quad B = \begin{bmatrix} 7 & 8\\ 9 & 10\\ 11 & 12 \end{bmatrix}$$

Dengan substitusi nilai ke dalam bentuk matriks:

$$\begin{aligned} A \times B &= \begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \end{bmatrix} \times \begin{bmatrix} 7 & 8 \\ 9 & 10 \\ 11 & 12 \end{bmatrix} \\[10pt] &= \begin{bmatrix} (1\times 7) + (2\times 9) + (3\times 11) & (1\times 8) + (2\times 10) + (3\times 12) \\ (4\times 7) + (5\times 9) + (6\times 11) & (4\times 8) + (5\times 10) + (6\times 12) \end{bmatrix} \\[10pt] &= \begin{bmatrix} 7 + 18 + 33 & 8 + 20 + 36 \\ 28 + 45 + 66 & 32 + 50 + 72 \end{bmatrix} \\[10pt] &= \begin{bmatrix} 58 & 64 \\ 139 & 154 \end{bmatrix} \end{aligned}$$

Jadi hasilnya:

$$A \times B = \begin{bmatrix} 58 & 64 \\ 139 & 154 \end{bmatrix}$$