Determinan

Definisi Determinan

AI summary chat-gpt

Secara sederhana, determinan adalah angka yang mewakili “seberapa besar” suatu matriks mengubah ruang.

Wikipedia

Determinan adalah nilai skalar yang dihasilkan fungsi dari entri-entri suatu matriks persegi. Determinan dari matriks A umumnya dinyatakan dengan notasi det(A), det A, atau |A|. Determinan dapat dianggap sebagai faktor penskalaan transformasi yang digambarkan oleh matriks. Nilai determinan mencirikan beberapa sifat dari matriks tersebut, dan peta linear yang diwakili oleh matriks tersebut. Contohnya, determinan bernilai tidak nol jika dan hanya jika matriks tersebut tidak singular dan peta linear yang diwakilinya merupakan suatu isomorfisme. Determinan dari hasil perkalian matriks-matriks sama dengan hasil perkalian dari determinan matriks-matriks tersebut.

Ruang guru

Determinan adalah nilai yang dapat dihitung dari unsur-unsur suatu matriks persegi. Maksudnya matriks persegi tuh yang kayak gimana sih? Matriks persegi adalah matriks yang memiliki jumlah baris dan kolom yang sama, sehingga kalau kita gambarkan bentuk matriksnya, akan membentuk bangun layaknya persegi.

Menghitung matriks 2x2 dan 3x3

Ordo 2x2

kalau ada matrik $A=\begin{bmatrix}a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22}\end{bmatrix}$
maka $det(A) = |A| = a_{11}a_{22}-a_{12}a_{21}$

Contoh Menghitung Determinan 2x2

Misal diketahui matriks
$A = \begin{bmatrix} 3 & 5 \\ 2 & 4 \end{bmatrix}$

Maka determinannya: $|A| = (3 \times 4) - (5 \times 2) = 12 - 10 = 2$

Jadi, determinan matriks $A$ adalah 2.

Ordo 3x3 (metode Sarrus)

Misal ada matrik $B = \begin{bmatrix}a_{11} & a_{12} & a_{13} \\a_{21} & a_{22} & a_{23} \\a_{31} & a_{32} & a_{33}\end{bmatrix}$

Langkah langkah penyelesaian:

1. Tuliskan dua kolom pertama di belakang matriks

$$det(B) = \begin{array}{ccc|cc} a_{11} & a_{12} & a_{13} & a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} & a_{21} & a_{22} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} & a_{31} & a_{32}\\ \end{array}$$

2. Jumlahkan hasil kali diagonal dari kiri atas ke kanan bawah (mari sebut $l$):

3. Jumlahkan hasil kali diagonal dari kanan atas ke kiri bawah (mari sebut $r$):

4. Terakhir kurangi hasil perjumplahan pertama dan kedua:

$$l-r = det(B)$$

atau panjangnya:

$$det(B) = a_{11}.a_{11}a_{11}+a_{11}.a_{11}.a_{11}+a_{11}.a_{11}.a_{11}\\ -a_{11}.a_{11}a_{11}-a_{11}.a_{11}.a_{11}-a_{11}.a_{11}.a_{11}$$

Contoh

Misal diketahui matriks
$B = \begin{bmatrix} 1 & 3 & 2 \\ 2 & 5 & 1 \\ 3 & 4 & 2 \\ \end{bmatrix}$

Maka: $\begin{array}{ccc|cc} 1 & 3 & 2 & 1 & 3 \\ 2 & 5 & 1 & 2 & 5 \\ 3 & 4 & 2 & 3 & 4 \\ \end{array}$

$det(B)=(1 \times 5 \times 2) + (3 \times 1 \times 3) + (2 \times 2 \times 4) -\\ \qquad\qquad\quad(3 \times 2 \times 2) - (1 \times 1 \times 4) - (2 \times 5 \times 3)\\ \qquad\qquad=\;\;10 + 9 + 16 - 12 - 4 - 30\\ det(B) = -11$

Jadi, determinan matriks $B$ adalah -11.

Sifat sifat determinan

1. Jika dalam sebuah matrik terdapat baris/kolom yang hanya berisi nol. maka determinannya adalah 0

:D